En este artículo Matemática ciencia y arte El número áureo vamos a desarrollar como se relacionan estas tres disciplinas. En la intersección de las matemáticas, la ciencia y el arte, hay un número que ha fascinado a eruditos y creadores durante siglos: el número áureo, también conocido como phi (φ) o la proporción áurea. Este número, con un valor aproximado de 1.618033988749895, ha demostrado ser una constante misteriosa y poderosa que ha influido en diversas disciplinas a lo largo de la historia. Si bien nos centraremos más en estas tres disciplinas, al final del artículo haremos referencia al uso de este número en otros campos de estudio.
Número de Oro
¿Qué es la proporción áurea?
La porporción áurea, podemos entenderla como la división de un número más grande con otro más chico que da como resultado 1,618. Para que se entienda de un modo más gráfico, imaginemos un rectángulo en el que el lado de mayor longitud es divido por el lado de menor longitud. Por ejemplo, si dividimos 4,8541019661 (lado mayor) por 3(lado menor), nos daría 1,6180339887. Este resultado es el llamado número de oro. Un forma rápida de hacer un rectángulo con poporción áurea sin necesidad del compás áureo es multiplicando 1,618 por cualquier número y ese resultado que nos da es el lado mayor, el múltiplo sería el lado menor.
¿Primeros momentos del Número Áureo?
El concepto del número áureo tiene raíces ancestrales, pero su nombre moderno proviene del matemático griego Euclides, quien lo describió por primera vez en su obra “Elementos” alrededor del año 300 a.C. Es decir, lo que hizo Euclides fue darle una definición formal a este número y lo definió como irracional ya que no se puede expresar en forma de fracción.
La proporción áurea ya había sido utilizada en la arquitectura y el arte mucho antes de Euclides. Si tenemos que hablar del número FI hacemos referencia a Fidias escultor de la Antigua Grecia y quien realizo obras como la Diosa Atenea del Partenón. Cumplió un papel muy importante en la realización del Partenón junto a Ictino y Calícrates, más adelante en otra sección se detallará más sobre este tema.
Aplicación del número áureo en matemáticas, ciencias y arte
¿Cómo se Aplicó en las Matemáticas el Número Áureo?
En la definición del primer apartado dimos una explicación más sencilla de lo que significa la proporción áurea. En este apartado haremos referencia a las matemáticas, por lo que tomaremos referencias más complejas.
El número áureo es la solución positiva a la ecuación cuadrática x² = x + 1, y se caracteriza por su relación única entre dos segmentos. Esta relación se puede expresar de la siguiente manera: (a + b) / a = a / b = φ. Es decir, a+b/a=a/b, es decir, a/b = x, b = 1, a= x ⇒ (x + 1) / x = x = φ ⇒ x2 = x + 1. Esta propiedad lo hace fundamental en varios campos matemáticos, incluyendo la geometría, la teoría de números y la geometría fractal.
Uno de los primeros matemáticos en estudiar en profundidad las propiedades matemáticas del número áureo fue el matemático italiano Leonardo Fibonacci (Pisa 1180-1250) en su obra “Liber Abaci”. Fibonacci descubrió que el número áureo emerge naturalmente en la sucesión de Fibonacci, una secuencia matemática donde cada número es la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.). La relación entre dos números adyacentes en esta secuencia se aproxima al número áureo a medida que los términos aumentan.
Dato de color
Hoy en día estan de moda los domos geodésicos. Este tipo de diseños en arquitectura es denominado fractal. El domo es una cúpula geodésica capaz de estar inscripta en la superficie de una esfera. Ahora, ¿qué es un fractal? Es la repetición del mismo patrón infinitamente. Si pensamos en los domos el patrón que se repite de forma infinita es el triángulo. Podemos ver esta repetición infinita de patrones en la rama de los árboles. También las venas tienen forma de fractal.
En las siguientes imágenes se observan dos domos. El primero de la izquierda, es un domo que se aleja de incripción superficial de una esfera, ya que posee menos triángulos. El segundo a la derecha, se acerca más a una esfera ya que tiene mayor número de triángulos. Cuanto más triángulos se agreguen, más esférico será.
Si pensamos en el número áureo, este se puede repetir infinitamente en la realización del espiral aureo. Se puede repetir un rectángulo dentro de otro infinitamente. Como se vé en la siguiente imagen.
La espiral áurea es una de las más utilizadas por los artistas como forma de composición para sus obras. Querés saber como se realiza esta espiral podes acceder al siguente LINK
¿Cómo se Aplicó en la Ciencia el Número Áureo?
La presencia del número áureo en la naturaleza ha intrigado a científicos y observadores durante siglos. Se puede observar en la disposición de las hojas en ciertas plantas, la estructura de las galaxias, e incluso en la anatomía humana. Esta relación se ha estudiado en campos como la biología, la física y la cosmología. En este apartado haremos referencia al área de la botánica.
Filotaxis y las matemáticas
Una de las maneras de poner en ejemplo, como el numero áureo se relaciona con las ciencias, en específico la botánica, es por medio de la filotaxis. Esta rama estudia la distribución de las hojas alrededor del tallo y proviene del griego: phillon (hoja) – taxis (ordenación). En la amplitud del término no solo se refiere a la distribución de las hojas, sino que también de las flores, semillas, ramas, etc.
Ya en el siglo III aC. Teofrasto y luego tres siglos después Plinio el Viejo en su libro Historia natural estudiaron y documentaron la distribución de las hojas en las plantas. Estos autores descubrieron que en la mayoría de las plantas las hojas no crecen una encima de otras. En el siglo XV Leonardo Da Vinci intentó teorizar las diferentes disposiciones de las hojas en relación al tallo y decubre que las hojas estan ubicadas de tal forma que puedan recibir la mayor cantidad de luz y agua. Esto se debe a que las hojas se distribuyen en el tallo siguiendo grupos de 5, el ángulo de divergencia es múltiplo de 5. Luego el biólogo Charlet Bonnet perfeccionó la teoría de Leonardo.
¿Cuándo comenzo la relación de la filotaxis con el número áureo o Fibonacci?
Johannes Kepler, anterior a Bonnet, ya había establecido una relación entre la sucesión de Fibonacci y la distribución de las hojas, debido a su fascinación por el número 5 y su presencia en la naturaleza, como por ejemplo, flores con pétalos de cínco hojas, las semillas de la manzana que se distribuían formando un pentágono, etc.
Más adelante, se comienza con una relación más exhautiva de la filotaxis con las matemáticas gracias al naturalista alemán Karl Schimper (1803-1867) y al biólogo, también alemán, Alexander Braun (1805-1877). Schimper estudió las distribuciones helicoidales de las hojas y definió el ángulo de divergencia de algunas especies relacionándolos con la secuencia de Fibonacci. Braun estudió la distribución de las escamas en las piñas y descubrió que el numero de espirales visibles que aparecían de forma horaria y antihoraria eran dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
¿Cómo se Aplicó en el Arte el Número Áureo?
El número áureo ha sido una herramienta invaluable para artistas y arquitectos a lo largo de la historia, utilizándolo para crear composiciones visualmente armoniosas y estéticamente agradables. Esta proporción se ha utilizado en la arquitectura, la pintura, la escultura y el diseño.
Uno de los ejemplos más famosos de la aplicación del número áureo en el arte es la proporción de la “Sección Áurea” o “Divina Proporción” en la arquitectura griega y romana. Los arquitectos de la antigüedad utilizaron esta proporción para diseñar edificios como el Partenón, donde las dimensiones de las columnas y los espacios interiores siguen la relación áurea, creando una sensación de equilibrio y belleza. Como nombramos más arriba, fué Fidias uno de los que dirigió esta maravillosa obra.
En la pintura y la escultura, artistas como Leonardo da Vinci, Michelangelo y Salvador Dalí han utilizado el número áureo en la composición de sus obras maestras. Desde la disposición de los elementos en el lienzo hasta la forma de las figuras humanas, el número áureo ha sido una guía para crear obras visualmente impactantes y estéticamente equilibradas.
En esta imagen se ve una de las obras de Miguel Ángel en la Capilla Sixtina. En donde se utiliza la proporción áurea.
Aplicación en otras áreas
Otras de las áreas que vale mencionar la utilización de la secuencia de Fibonacci, es en el analisis técnico del mundo del trading. Los mercados no se mueven linealmente, y por momentos pareciera impreciso el poder definir si se llega a ganar o perder. Sin embargo, entre multiples modos de análisis, uno esta basado en esta secuencia y las mismas herramientas de analisis ya traen consigo las líneas en tendencia bajista o alcista del mercado.
Conclusiones:
El número de oro, número áureo, secuencia de Fibonacci, proporción áurea, espiral áurea, etc. puede ser utilizado en diversas áreas. Desde nuestra Academia creemos que la importancia de este número esta dada en la multiplicidad de disciplinas que toca y la variedad de temas que se pueden abordar tomando como centro a este. Nos interesa poder exponer y desarrollar esta temática ya que tiene una gran relación con la Educación STEAM, pues abarca desde ciencias, tecnología, ingeniería, arte y matemáticas y hasta hoy día sigue dejando intriga de por qué este número es encontrado en diversas formas en la naturaleza.
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La sucesión de Fibonacci como herramienta para modelizar la naturaleza Modelling in Science Education and Learning Volume 3, No. 5, 2010. Instituto Universitario de Matem´atica Pura y Aplicada. Irene Ferrando, Carlos Segura
Atribución de imágenes
Espiral de Fibonacci
Girasol
La imagen de la fachada del Partenón tomada de Wikimedia Commons Dominio Público
La imagen de La creación de Adán es tomada de Wikimedia Commons Dominio Público
Las imágenes de los domos son tomadas de la calculadora de domos ACIDOME
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